Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc

Hướng dẫn giải

a) \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2 \)

\(CC' = AA' = 2a\)

\(CC' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow CC' \bot AC\)

\( \Rightarrow \Delta ACC'\) vuông tại \(C \Rightarrow AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}}  = a\sqrt 6 \)

b) \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A'B'C'C'}} = \frac{1}{2}\left( {A{\rm{D}} + BC} \right).AB = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow ABCM\) là hình vuông\( \Rightarrow MC = M{\rm{D}} = MA = \frac{1}{2}A{\rm{D}} = a\)

\(\Delta MC{\rm{D}}\) vuông cân tại \(M \Rightarrow C{\rm{D}} = \sqrt {C{M^2} + D{M^2}}  = a\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l}{S_{ABB'A'}} = AB.AA' = 2{a^2}\\{S_{ADD'A'}} = AD.AA' = 4{a^2}\\{S_{BCC'B'}} = BC.CC' = 2{a^2}\\{S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}} = C{\rm{D}}.CC' = 2{a^2}\sqrt 2 \end{array}\)

Tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ là:

\(\begin{array}{l}S = {S_{ABC{\rm{D}}}} + {S_{A'B'C'C'}} + {S_{ABB'A'}} + {S_{ADD'A'}} + {S_{BCC'B'}} + {S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}}\\ &  = \frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{3{a^2}}}{2} + 2{a^2} + 4{a^2} + 2{a^2} + 2{a^2}\sqrt 2  = \left( {11 + 2\sqrt 2 } \right){a^2}\end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \(AB{\rm{D}}\) có: \(AB = A{\rm{D}} = B{\rm{D}} = a\)

\( \Rightarrow \Delta AB{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^ \circ } - \widehat {BA{\rm{D}}} = {120^ \circ }\)

Xét tam giác \(AB{\rm{C}}\) có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC}  = a\sqrt 3 \)

\(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AC \Rightarrow \Delta AA'C\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{C^2} - A{C^2}}  = a\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A'B'C'D'}} = AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\{S_{ABB'A'}} = {S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}} = AB.AA' = {a^2}\\{S_{A{\rm{DD}}'A'}} = {S_{BCC'B'}} = A{\rm{D}}.AA' = {a^2}\end{array}\)

Tổng diện tích các mặt của hình hộp là:

\(S = {S_{ABC{\rm{D}}}} + {S_{A'B'C'D'}} + {S_{ABB'A'}} + {S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}} + {S_{A{\rm{DD}}'A'}} + {S_{BCC'B'}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + 4.{a^2} = \left( {4 + \sqrt 3 } \right){a^2}\)

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của hai đáy.

Kẻ \(B'H \bot B{\rm{D}}\left( {H \in B{\rm{D}}} \right),B'K \bot BC\left( {K \in BC} \right)\)

\(\begin{array}{l}B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}}  = 2a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = a\sqrt 2 \\B'D' = \sqrt {A'B{'^2} + A'{\rm{D}}{{\rm{'}}^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow B'O' = \frac{1}{2}B'{\rm{D'}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

\(OO'B'H\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow OH = B'O' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},B'H = OO' = a\)

\( \Rightarrow BH = BO - OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác \(BB'H\) vuông tại \(H\) có: \(BB' = \sqrt {B'{H^2} + B{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\(BCC'B'\) là hình thang cân \( \Rightarrow BK = \frac{{BC - B'C'}}{2} = \frac{a}{2}\)

Tam giác \(BB'K\) vuông tại \(K\) có: \(B'K = \sqrt {BB{'^2} - B{K^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

 

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

Mô hình hoá hình ảnh kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều \(S.ABC{\rm{D}}\) có \(O\) là tâm của đáy. Kẻ \(SI \bot C{\rm{D}}\left( {I \in C{\rm{D}}} \right)\).

Ta có: \(SO = 21,6;C{\rm{D}} = 34\)

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 34\sqrt 2  \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = 17\sqrt 2 \)

\(\Delta SOC\) vuông tại \(O\)\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{O^2} + O{C^2}}  \approx 32,3\)

Vậy độ dài cạnh bên bằng \(32,3\left( m \right)\)

Tam giác \(SCD\) cân tại \(S\)

\( \Rightarrow SI\) vừa là trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(CD\).

Mà \(O\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\)

\( \Rightarrow OI = \frac{1}{2}BC = 17\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OI\)

\( \Rightarrow \Delta SOI\) vuông tại \(O\)\( \Rightarrow SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}}  \approx 27,5\)

\({S_{SC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}}.SI \approx 467,5\)

Diện tích xung quanh của kim tự tháp là: \({S_{xq}} = 4{S_{SC{\rm{D}}}} \approx 1870\left( {{m^2}} \right)\)

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)