Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{3}{x} - 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} =  - \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\frac{3}{x} - 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} =  - \frac{1}{2}\)

Do đó, đường thẳng \(y = \frac{{ - 1}}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} =  + \infty \)

Do đó, đường thẳng \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\).

b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] =  + \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\) không có tiệm cận ngang.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} =  + \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là \(x =  - 2\)

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = 2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}} - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {2x - 3 + \frac{5}{{x + 2}} - \left( {2x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận xiên là: \(y = 2x - 3\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2x + 50}}{x}\)

Vì \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 50}}{{{x^2}}} < 0\) với mọi số thực x nên hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) giảm.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 50}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{{50}}{x}}}{1} = 2\) (đpcm)

Tính chất này nói lên: Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới 2.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là: \(\frac{{144}}{x}\left( m \right)\)

Chu vi của mảnh vườn là: \(P\left( x \right) = 2\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) = 2x + \frac{{288}}{x}\left( m \right)\)

b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) =  - \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số P(x) không có tiệm cận ngang.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) =  + \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận đứng là \(x = 0\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {P\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{288}}{x} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận xiên là: \(y = 2x\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)