Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) =  - \infty \)

b) Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = 1;x =  - 1\).

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = 2\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 3} \right) = 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 3} \right) = 4\)

Do đó, đường thẳng \(x = 1\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\) là \(y = 2\).

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} =  - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\) đường thẳng \(x = 4\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} =  - \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\)

Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} =  - x + 3 - \frac{1}{{1 - x}}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(y =  - x + 3\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{45p}}{{100 - p}} =  + \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) là \(p = 100\).

Ý nghĩa của đường tiệm cận là: Không thể loại bỏ hết loài tảo độc ra khỏi hồ nước dù chi phí là bao nhiêu.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(M\left( {x;\frac{x}{{x - 1}}} \right);H\left( {1;\frac{x}{{x - 1}}} \right)\)

Do đó, \(MH = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{x}{{x - 1}}} \right)}^2}}  = x - 1\) (do \(x > 1\))

b) Khi khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M dần ra xa vô tận về phía trên (tung độ điểm M tiến ra \( + \infty \)).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2\).

Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) là \(y = 2\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(M\left( {x;\frac{{2x + 1}}{x}} \right)\); \(H\left( {x;2} \right)\).

Do đó, \(MH = \sqrt {{{\left( {x - x} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2x + 1}}{x}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{2x - 2x - 1}}{x}} \right)}^2}}  = \frac{1}{x}\) (do \(x > 0\))

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0\). Do đó, khi \(x \to  + \infty \) thì \(MH \to 0\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } m\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } 15{e^{ - 0,012t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{15}}{{{e^{0,012t}}}} = 0\)

Do đó, \(m\left( t \right) \to 0\) khi \(t \to  + \infty \).

Trong hình 1.18, khi \(t \to  + \infty \) thì m(t) càng gần trục hoành Ot (nhưng không chạm trục Ot).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi \(x \to  + \infty \) thì khoảng cách MH tiến tới 0.

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0\)

Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng \(y = x - 1\) tiến đến 0 khi \(x \to  + \infty \).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)