Tìm hai số biết tổng của chúng bằng –11, tích của chúng bằng 28.
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng –11, tích của chúng bằng 28.
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiNửa chu vi của mảnh vườn là: \(40:2 = 20\left( m \right)\).
Khi đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 20x + 96 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 10} \right)^2} - 1.1.96 = 4\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 10 + \sqrt 4 = 12;{x_2} = 10 - \sqrt 4 = 8\)
Do đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là 12m và 8m.
Chú ý khi giải: Trong hình chữ nhật, chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:
а) x2 – 12x + 8 = 0;
b) 2x2 + 11x – 5 =0;
c) 3x2 – 10 = 0;
d) x2 – x + 3 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 8.1 = 28 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 12;{x_1}.{x_2} = 8\)
b) Ta có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.\left( { - 5} \right) = 161 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 11}}{2};{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 5}}{2}\)
c) Ta có: \(\Delta ' = {0^2} - 3.\left( { - 10} \right) = 30 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 0;{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 10}}{3}\)
d) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.3 = - 11 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
а) 2x2 – 9x + 7 = 0;
b) 3x2 + 11x + 8 = 0;
c) 7x2 – 15x + 2 = 0, biết phương trình có một nghiệm x1 = 2.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vì \(a + b + c = 2 - 9 + 7 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{7}{2}\).
b) Vì \(a - b + c = 3 - 11 + 8 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;{x_2} = \frac{{ - 8}}{3}\).
c) Gọi \({x_2}\) là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète ta có: \({x_1}.{x_2} = \frac{2}{7}\).
Do đó, \({x_2} = \frac{2}{7}:2 = \frac{1}{7}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = \frac{1}{7}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tìm hai số u và v, biết:
a) u + v = 20, uv = 99;
b) u + v = 2, uv = 15.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Hai số u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} - 20x + 99 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 10} \right)^2} - 1.99 = 1 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 10 + 1 = 11;{x_2} = 10 - 1 = 9\).
Vậy \(u = 11;v = 9\) hoặc \(u = 9;v = 11\).
b) Hai số u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + 15 = 0\).
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.15 = - 14 < 0\)
Suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại hai số u và v sao cho \(u + v = 2,uv = 15\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 thì đa thức ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 11x + 18;
b) 3x2 + 5x – 2.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)
Vì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) nên theo định lí Viète ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Thay vào biểu thức \(a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta có:
\(a{x^2} - ax.\frac{{ - b}}{a} + a.\frac{c}{a} = a{x^2} + bx + c\)
a) Giải phương trình \({x^2} + 11x + 18 = 0\):
Ta có: \(\Delta = {11^2} - 4.1.18 = 49 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {49} }}{2} = - 2;{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {49} }}{2} = - 9\)
Do đó, \({x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)\).
b) Giải phương trình \(3{x^2} + 5x - 2 = 0\):
Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.3.\left( { - 2} \right) = 49 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{6} = \frac{1}{3};{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{6} = - 2\)
Do đó, \(3{x^2} + 5x - 2 = 3\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 300 m2 và chu vi là 74 m. Tính các kích thước của bể bơi này.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiNửa chu vi của mảnh vườn là: \(150:2 = 75\left( m \right)\).
Khi đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 75x + 500 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 75} \right)^2} - 4.1.500 = 3625 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5\sqrt {145} \) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt\({x_1} = \frac{{75 + 5\sqrt {145} }}{2};{x_2} = \frac{{75 - 5\sqrt {145} }}{2}\)
Do đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(\frac{{75 + 5\sqrt {145} }}{2}\)m và \(\frac{{75 - 5\sqrt {145} }}{2}\)m.
Chú ý khi giải: Trong hình chữ nhật, chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)