Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\), giá của vectơ \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow{n}\) có phương gì? (H.5.1)

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) = (a; b; c) và \(\overrightarrow{v}\) = (a′; b′; c′).

a) Vectơ \(\overrightarrow{n}\) = (bc′ − b′c; ca′ − c′a; ab′ − a′b) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) hay không?

b) \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) có mối quan hệ gì?

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ [\(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\)] có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) hay không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận [\(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\)] làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow{F}\) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow{M}\) được tính bởi công thức \(\overrightarrow{M}\) = [ \(\overrightarrow{OP}\),\(\overrightarrow{F}\) ] .

a) Cho \(\overrightarrow{OP}\) = ( x; y; z ) , \(\overrightarrow{F}\) = ( a; b; c ) . Tính \(\overrightarrow{M}\) .

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động → F trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho \(\overrightarrow{OP'}\) = 2 \(\overrightarrow{OP}\) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi \(\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)\) là một vectơ pháp tuyến của (α) và M₀(x₀; y₀; z₀) là một điểm thuộc (α).

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{M_0M}\) có mối quan hệ gì?

b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?