Bài 14. Hình thoi và hình vuông

Hướng dẫn giải

Xét các tam giác AEH, BEF, CGF, DGH có:

\( \widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^0\)

AE = BE = CG = DG (vì E, G là trung điểm của AB, CD và AB = CD)

BF = FC = DH = HA (vì F, H là trung điểm của BC, AD và BC = AD)

\( \Rightarrow \Delta AEH = \Delta BEF = \Delta CGF = \Delta DGH \) 

Suy ra EH = EF = FG = GH (các cạnh tương ứng) nên tứ giác EFGH là hình thoi (vì có 4 cạnh bằng nhau).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh EFGH là hình chữ nhật. Thật vậy:

Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Do E, H lần lượt là trung điểm của AB, AD nên AH = DH = AE = BE.

Tam giác AHE có AH = AE nên là tam giác cân tại A, suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {AEH}\)

Mà \(\widehat {HAE} + \widehat {AHE} + \widehat {AEH} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AHE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2}\)

Tương tự, ta có tam giác DHG cân tại D nên \(\widehat {DHG} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HDG}}}{2}\)

Mặt khác, do ABCD là hình thoi nên AB // CD, suy ra \(\widehat {HAE} + \widehat {HDG} = 180^\circ \)

Khi đó \(\widehat {AHE} + \widehat {DHG} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2} + \frac{{180^\circ  - \widehat {HDG}}}{2}\)

= \(\frac{{180^\circ  - \widehat {HAE} + 180^\circ  - \widehat {HDG}}}{2}\)

=\(\frac{{360^\circ  - (\widehat {HAE} + \widehat {HDG})}}{2}\)

= \(\frac{{360^\circ  - 180^\circ }}{2}\)

Mà \(\widehat {AHE} + \widehat {DHG} + \widehat {EHG} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {EHG} = 180^\circ  - (\widehat {AHE} + \widehat {DHG}) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có \(\widehat {HEF} = \widehat {EFG} = \widehat {FGH} = {90^0}.\)

Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình chữ nhật nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AD=BC\end{matrix}\right.\)

Mà M là trung điểm BC ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}MA=MD\\MB=MC\end{matrix}\right.\) (1)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác ABM, MCD, AMD, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+MB^2=AM^2\\CD^2+MC^2=MD^2\\AM^2+MD^2=AD^2\end{matrix}\right.\) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

 \(2AB^2+2BM^2=AD^2=BC^2=4BM^2\)

\(\Rightarrow AB=BM=\dfrac{1}{2}BC\)

Mà \(2\cdot\left(AB+BC\right)=36\)

⇒ AB = 6 (cm) và BC = 12 (cm).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)