Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −40t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Bài 12. Tích phân
Mở đầu (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 12)
Thảo luận (0)
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 13)
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x 1, x t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)a) Tính diện tích S của T khi t 4.b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S S(4) – S(1).
Đọc tiếp
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)
a) Tính diện tích S của T khi t = 4.
b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].
c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 13)
Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $yx^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x1, x2$. Ta muốn tính diện tích $S$ của hình thang cong này.a) Với mỗi $x in[1 ; 2]$, gọi $S(x)$ là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục $0 x$ tại điểm có hoành độ bằng 1 và $x(mathrm{H} .4 .5)$.Cho $h0$ sao cho $x+h2$. So sánh hiệu $S(x+h)-S(x)$ với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra $0 leq frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2 leq 2 x h+h^2$.b) Cho $h0$ sao...
Đọc tiếp
Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1, x=2$. Ta muốn tính diện tích $S$ của hình thang cong này.
a) Với mỗi $x \in[1 ; 2]$, gọi $S(x)$ là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục $0 x$ tại điểm có hoành độ bằng 1 và $x(\mathrm{H} .4 .5)$.
Cho $h>0$ sao cho $x+h<2$. So sánh hiệu $S(x+h)-S(x)$ với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra $0 \leq \frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2 \leq 2 x h+h^2$.
b) Cho $h<0$ sao cho $x+h>1$. Tương tự phần a, đánh giá hiệu $S(x)-S(x+h)$ và từ đó suy ra $2 x h+h^2 \leq \frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2 \leq 0$.
c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi $\mathrm{h} \neq 0$, ta có $\left|\frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2\right| \leq 2 x|h|+h^2$.
Từ đó chứng minh $S^{\prime}(x)=x^2, x \in(1 ; 2)$.
Người ta chứng minh được $S^{\prime}(1)=1, S^{\prime}(2)=4$, tức là $S(x)$ là một nguyên hàm của $x^2$ trên $[1 ; 2]$.
d) Từ kết quả của phần c , ta có $S(x)=\frac{x^3}{3}+C$. Sử dụng điều này với lưu ý $\mathrm{S}(1)=0$ và diện tích cần tính $\mathrm{S}=$ $S(2)$, hãy tính $S$.
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm tùy ý của $f(x)=x^2$ trên $[1 ; 2]$. Hãy so sánh $S$ và $F(2)-F(1)$.
Hoạt động 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 14)
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Luyện tập 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 15)
Tính:
a) \(\int\limits^1_0e^xdx;\) b) \(\int\limits^e_1\dfrac{1}{x}dx;\) c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin xdx;\) d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{dx}{\sin^2x}.\)
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 16)
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) \(\int\limits^3_1\left(2x+1\right)dx;\) b) \(\int\limits^2_{-2}\sqrt{4-x^2}dx.\)
Hoạt động 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 16)
Tính và so sánh:
a) $\int_0^1 2 x d x$ và $2 \int_0^1 x d x$;
b) $\int_0^1\left(x^2+x\right) d x$ và $\int_0^1 x^2 d x+\int_0^1 x d x$;
c) $\int_0^3 x d x$ và $\int_0^1 x d x+\int_1^3 x d x$.
Luyện tập 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 17)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^{2\pi}_0\left(2x+\cos x\right)dx;\) b) \(\int\limits^2_1\left(3^x-\dfrac{3}{x}\right)dx;\) c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-\dfrac{1}{\sin^2x}\right)_{\dfrac{\pi}{6}}dx\).
Luyện tập 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 17)
Tính \(\int\limits^3_0\left|2x-3\right|dx.\)
Vận dụng 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 17)
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là dfrac{1}{b-a}intlimits^b_afleft(xright)dx.Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm sốT(t) 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12.Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Đọc tiếp
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\dfrac{1}{b-a}\int\limits^b_af\left(x\right)dx\).
Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số
T(t) = 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12.
Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.