Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(1;1;3\right),\overrightarrow{v}=\left(2;-1;2\right)\) (Hình 10).

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (P).

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2), biết vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\).

Cho ba điểm H(– 1; 1; 2), I(1; 3; 2), K(– 1; 4; 5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HK}\). Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(– 1; 1; 2), biết cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HK}\).

 Cho mặt phẳng (P₁):

           2x + 2y + 2z + 1 = 0 (1)

và mặt phẳng (P₂):

           x + y + z – 1 = 0 (2)

a) Gọi \(\overrightarrow{n_1}=\left(2;2;2\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;1;1\right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P₁), (P₂) (Hình 14). Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow{n_1}\) và \(2\overrightarrow{n_2}\).

b) Tìm các hệ số tự do D­₁, D₂ lần lượt trong hai phương trình (1), (2). So sánh D₁ và 2D₂.

c) Nêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P₁), (P₂).

Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là:

x + 2y + z + 1 = 0

và mặt phẳng (P₂) có phương trình tổng quát là:

3x – 2y + z + 5 = 0.

Gọi \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;2;1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(3;-2;1\right)\)  lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P₁), (P₂). Hai vectơ \(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\) có vuông góc với nhau hay không?