Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi a = 10 m/s2. Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?
Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi a = 10 m/s2. Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?
Cho hàm số f(x) = 2x xác định trên ℝ. Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\), nên \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một hàm số cần tìm.
(Trả lời bởi datcoder)
Cho hàm số f(x) = 3x2 xác định trên ℝ.
a) Chứng minh rằng F(x) = x3 là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
b) Với C là hằng số tùy ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên ℝ không?
c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có \(F'\left( x \right) = 3{x^2} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có \(H'\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right) + C} \right]' = F'\left( x \right) + C' = f\left( x \right)\) (do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)), nên \(H\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
c) Do \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta có \(G'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Ta có \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]' = G'\left( x \right) - F'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( x \right) = 0\).
Vậy đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) bằng 0, tức là \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).
(Trả lời bởi datcoder)
Chứng minh rằng F(x) = e2x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e2x + 1 trên ℝ.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(F'\left( x \right) = \left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = 2{e^{2x + 1}} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
(Trả lời bởi datcoder)
a) Giải thích tại sao \(\int0dx=C\) và \(\int1dx=x+C\).
b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left(x\right)=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\left(\alpha\ne-1\right)\). Từ đó, tìm \(\int x^{\alpha}dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).
Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).
b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
(Trả lời bởi datcoder)
Tìm:
a) \(\int x^4dx;\) b) \(\int\dfrac{1}{x^3}dx;\) c) \(\int\sqrt{x}dx\left(x>0\right).\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
(Trả lời bởi datcoder)
a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sinx, y = −cosx, y = tanx, y = −cotx.
b) Từ đó, tìm \(\int\cos xdx,\int\sin xdx,\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx\) và \(\int\dfrac{1}{\sin^2x}dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
\(\left( { - \cos x} \right)' = - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\left( { - \cot x} \right)' = - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \)
(Trả lời bởi datcoder)
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cosx thỏa mãn \(F\left(0\right)+F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)
Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).
(Trả lời bởi datcoder)
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y=e^x,y=\dfrac{a}{\ln a}\) với a > 0, a ≠ 1.
b) Từ đó, tìm \(\int e^xdx\) và \(\int a^xdx\) (a > 0, a ≠ 1).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
(Trả lời bởi datcoder)
Tìm:
a) \(\int3^xdx;\) b) \(e^{2x}dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
(Trả lời bởi datcoder)