Cho a, b, c, d là những số dương.
Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{16}{a+b+c+d}\)
Cho a, b, c, d là những số dương.
Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{16}{a+b+c+d}\)
Cho a, b, c, d là những số dương.
Chứng minh rằng :
\(a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2a\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiÁp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{a^2b\times\dfrac{1}{b}}=2a\)
Dấu "=" xảy ra khi:\(a^2b=\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow a^2b^2=1\Leftrightarrow ab=1\)
Vậy a^2b+1/b\(\ge2a\)
(Trả lời bởi Bùi Nhất Duy)
Cho a, b, c, d là những số dương.
Chứng minh rằng :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiÁp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(Trả lời bởi Kuro Kazuya)
Cho a, b, c, d là những số dương.
Chứng minh rằng :
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge2\sqrt{2\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=\left(a+b\right)+\left(2\sqrt{2ab}\right)\)
áp cosi cho hai số dương
\(\left(a+b\right)\) và \(\left(2\sqrt{2ab}\right)\)
\(\left(a+b\right)+\left(2\sqrt{2ab}\right)\ge2.\sqrt{\left(a+b\right).2\sqrt{ab}}=2\sqrt{2\left(a+b\right).\sqrt{ab}}=dccm\)
=> Bất đẳng thức lớp 10 đi áp cho lớp 8 liêu có được không?
(Trả lời bởi ngonhuminh)
Cho a, b, c, d là những số dương.
Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiÁp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(Trả lời bởi Kuro Kazuya)
Cho x, y, z là những số thực tùy ý.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
\(y=\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{1-x}\) với \(0< x< 1\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(y=\dfrac{4\left(x+1-1\right)}{x}+\dfrac{9\left(x+1-x\right)}{1-x}\)
\(=4+9+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+9\dfrac{x}{1-x}\ge13+2\sqrt{4\dfrac{\left(1-x\right)}{x}.9\dfrac{x}{1-x}}=25\)
\(\Rightarrow y\ge25,\forall x\in\left(0;1\right)\)
Đẳng thức \(y=25\) xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}=\dfrac{9x}{1-x}=6\\x\in\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\)
Hay \(x=\dfrac{2}{5}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đặt tại \(x=\dfrac{2}{5}\)
(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)
Cho x, y, z là những số thực tùy ý.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=4x^3-x^4\) với \(0\le x\le4\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(y=4x^3-x^4=x^3\left(4-x\right)=x.x.x.\left(4-x\right)\).
(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)
Vì vậy: \(3y=x.x.x.\left(12-4x\right)\).
Với \(0\le x\le4\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\12-4x\ge0\end{matrix}\right.\).
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho bốn số: x,x,x, 12 - 3x ta có:
\(x.x.x.\left(12-3x\right)\le\left(\dfrac{x+x+x+12-3x}{4}\right)^4=81\).
Dấu bằng xảy ra khi: \(x=12-3x\)\(\Leftrightarrow4x=12\)\(\Leftrightarrow x=3\).
Như vậy: \(3y\le81\) \(\Leftrightarrow y\le27\) nên max của y bằng 27 khi x = 3.
Cho x, y, z là những số thực tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó :
\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải- Áp dụng BĐT Bunhia- Cốp xki ta có:
(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)
\(\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-1+5-x\right)\)\(=2.4=8\).
Suy ra: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\le2\sqrt{2}\).
Vậy max \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=2\sqrt{2}\) khi:
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{5-x}\)\(\Leftrightarrow x-1=5-x\)\(\Leftrightarrow x=3\).
- Ta có: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\ge\sqrt{x-1+5-x}=\sqrt{4}=2\).
Vậy GTNN của \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=2\) khi:
\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\5-x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\).
Cho x, y, z là những số thực tùy ý.
Chứng minh rằng :
\(\left|x-z\right|\le\left|x-y\right|+\left|y-z\right|,\forall x,y,z\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiLời giải
áp dụng
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) với \(\forall a,b\) đẳng thức khi ab>=0 nghĩa là a, b cùng "dấu"
\(VP=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|\ge\left|\left(x-y\right)+\left(y-z\right)\right|=\left|x-z\right|=VT\)
\(\Rightarrow\left|x-z\right|\le\left|x-y\right|+\left|y-z\right|\)
Đẳng thức khi (x-y)(y-z)>=0
(Trả lời bởi ngonhuminh)