Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Huyền Trang

x,y,z >0 thỏa mãn xy+ yz+zx ≥3

Tìm GTNN của P=\(\frac{x^3}{1+x}+\frac{y^3}{1+y}+\frac{z^3}{1+z}\)

Giúp mình với ☺

Akai Haruma
29 tháng 7 2020 lúc 20:09

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

$\frac{x^3}{x+1}+\frac{x(x+1)}{4}\geq x^2$

$\frac{y^3}{y+1}+\frac{y(y+1)}{4}\geq y^2$

$\frac{z^3}{z+1}+\frac{z(z+1)}{4}\geq z^2$

Cộng theo vế và thu gọn: $P\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)}{4}$

Cũng theo BĐT AM-GM: $(x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)\geq 3(x^2+y^2+z^2)-\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}=t^2-t$ với $t=\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\geq \sqrt{3(xy+yz+xz)}\geq 3$

Dễ thấy $t^2-t=t(t-3)+2(t-3)+6=(t+2)(t-3)+6\geq 6$ với $t\geq 3$

Do đó $P\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)}{4}\geq \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$


Các câu hỏi tương tự
__HeNry__
Xem chi tiết
Trần Bảo Hân
Xem chi tiết
mr. killer
Xem chi tiết
mr. killer
Xem chi tiết
Lăng
Xem chi tiết
Matsumi
Xem chi tiết
Xuan Xuannajimex
Xem chi tiết
Lăng
Xem chi tiết
Minatozaki Sana
Xem chi tiết