Question

x,y là 2 số thực dương . Tìm Min P=\(\dfrac{x+y}{\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}}\)

sao mik làm theo Cô si mà dấu = ko xảy ra nhỉ?

Answer 1

Áp dụng cosi có:

\(\sqrt{x\left(2x+y\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3x\left(2x+y\right)}\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{5x+y}{2}\)

\(\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{5y+x}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{x+y}{\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(6x+6y\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Dấu = xảy ra khi x=y

Answer 2

Bài này áp dụng bunhia :v

Áp dụng bunhia với 2 cặp số `(sqrtx,sqrty),(sqrt{2x+y},sqrt{2y+x})`

`(x+y)(2x+y+2y+x)>=(sqrt{x(2x+y)}+sqrt{y(2y+x)})^{2}`

`<=>3(x+y)^{2}>=(sqrt{x(2x+y)}+sqrt{y(2y+x)})^{2}`

`=>sqrt{x(2x+y)}+sqrt{(2y+x)}<=sqrt3(x+y)`

`=>P>=1/sqrt3`

Dấu "="`<=>x=y`