Đề luyện thi tốt nghiệp phổ thông, cao đẳng, đại học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nhàn Phan

Xét số phức z= a+bi thoã mãn |z|=1. tính P=2a+4b2 khi |z3-z+2| đạt giá trị lớn nhất

Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 4 2019 lúc 23:40

Do \(\left|z\right|=1\Rightarrow z=cosx+i.sinx\) với \(\left\{{}\begin{matrix}a=cosx\\b=sinx\end{matrix}\right.\)

\(z^3-z+2=cos3x+i.sin3x-cosx-i.sinx+2\)

\(=cos3x-cosx+2+i\left(sin3x-sinx\right)\)

\(=-2sin2x.sinx+2+i\left(2cos2x.sinx\right)\)

\(=2\left(-sin2x.sinx+1+i.cos2x.sinx\right)\)

\(\Rightarrow A=\left|z^3-z+2\right|=2\sqrt{\left(1-sin2x.sinx\right)^2+cos^22x.sin^2x}\)

\(=2\sqrt{1+sin^22x.sin^2x-2sin2x.sinx+cos^22x.sin^2x}\)

\(=2\sqrt{1+sin^2x-4sin^2x.cosx}=2\sqrt{2-cos^2x-4cosx\left(1-cos^2x\right)}\)

\(=2\sqrt{2-cos^2x-4cosx+4cos^3x}=2\sqrt{4a^3-a^2-4a+2}\)

\(A_{min}\) khi \(f\left(a\right)=4a^3-a^2-4a+2\) đạt min

\(f'\left(a\right)=12a^2-2a-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-\frac{1}{2}\\a=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Dựa vào BBT, ta thấy \(f\left(a\right)\) min khi \(a=\frac{2}{3}\) \(\Rightarrow b^2=1-a^2=\frac{5}{9}\)

\(\Rightarrow P=\frac{32}{9}\)


Các câu hỏi tương tự
An Sơ Hạ
Xem chi tiết
Bảo Việt
Xem chi tiết
lili hương
Xem chi tiết
Bảo Việt
Xem chi tiết
Thiên Anh
Xem chi tiết
lili hương
Xem chi tiết
Thảo Nguyễn Karry
Xem chi tiết
lili hương
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết