Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
quan le nguyen
Với x,y>0 và x+y=1 CMR: \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\ge9\)

Help me!!!

hattori heiji
21 tháng 4 2018 lúc 18:30

đặt A=\(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)=\left(1+\dfrac{x+y}{x}\right)\left(1+\dfrac{x+y}{y}\right)\)

=\(\left(1+\dfrac{x}{x}+\dfrac{y}{x}\right)\left(1+\dfrac{y}{y}+\dfrac{x}{y}\right)\)

=\(\left(2+\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{x}{y}\right)\)

=\(4+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}+\dfrac{xy}{yx}\)

=\(4+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+1\)

xét

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm ta có

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2\)

=> A ≥ 4+4+1

=> A ≥ 9 (đpcm)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
21 tháng 4 2018 lúc 18:27

Ta có :

\(A=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)=\left(1+\dfrac{x+y}{x}\right)\left(1+\dfrac{x+y}{y}\right)\)

\(A=\left(2+\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{x}{y}\right)\)

\(A=4+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}+1=5+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

Theo BĐT cô si \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}\times\dfrac{y}{x}}=2\)

Do đó : \(A\ge5+2.2=9\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Trần Thiên Kim
Xem chi tiết
Học 24h muôn năm
Xem chi tiết
Huyền Anh Kute
Xem chi tiết
quan le nguyen
Xem chi tiết
Phạm Lý Minh Khoa
Xem chi tiết
Trà Nguyen
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
adfghjkl
Xem chi tiết
2012 SANG
Xem chi tiết