Question

Cho x,y,z>0 và x+y+z=1

CMR: \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)\ge64\)

Answer 1

Ta cần chứng minh \((1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\sqrt[3]{abc})^3\)

\(\Leftrightarrow 1+abc+ab+bc+ca+a+b+c \geq 1+3\sqrt[3]{(abc)^2}+3\sqrt[3]{abc}+abc\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}+3\sqrt[3]{abc}\)

Đúng theo BĐT AM-GM. Áp dụng vào ta có:

\(\left(1+\frac{1}{x} \right)\left(1+\frac{1}{y} \right)\left(1+\frac{1}{z} \right)=\dfrac{(1+x)(1+y)(1+z)}{xyz} \geq \dfrac{(1+\sqrt[3]{xyz})^3}{xyz} \geq 64\)
Từ \(x+y+z=1\Rightarrow xyz\le \frac{1}{27}\)

\(\Rightarrow \dfrac{(1+\sqrt[3]{xyz})^3}{xyz}=\bigg(\dfrac{1}{\sqrt[3]{xyz}}+1\bigg)^3 \geq 64\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Answer 2

Áp dụng trực tiếp BĐT AM-GM ta có:

\(1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}\left(x+y+z+x\right)\ge\dfrac{1}{x}4\sqrt[4]{x^2yz}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{x}\ge\dfrac{4}{x}\sqrt[4]{\dfrac{x^4yz}{x^2}}=4\sqrt[4]{\dfrac{yz}{x^2}}\)

Tương tự ta có: \(1+\dfrac{1}{y}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{xz}{y^2}};1+\dfrac{1}{z}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{xy}{z^2}}\)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)\ge4\sqrt[4]{\dfrac{yz}{x^2}}4\sqrt[4]{\dfrac{xz}{y^2}}4\sqrt[4]{\dfrac{xy}{z^2}}=64\)

Còn tỉ tỉ cách nữa đây, cần thì nhắn tin ==