Question

Với p là số nguyên tố >3 CMR \(p^2-1⋮24\)

Answer 1

Ta có : p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)p​2​​−1=(p−1)(p+1)
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3
Xét tích ba số nguyên liên tiếp : (p-1).p.(p+1) . Số này chia hết cho 3 vì một trong ba số ắt tìm được một số chia hết cho 3. Mà p không chia hết cho 3
=> (p-1)(p+1) = p2-1 chia hết cho 3 (1)
Ta chứng minh bài toán phụ : Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6m+16m+16m+1 hoặc 6m−16m-16m−1
Thật vậy , mọi số nguyên đều viết được dưới dạng 6m±1,6m±2,6m±36m\pm1,6m\pm2,6m\pm36m±1,6m±2,6m±3
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 2 và 3 nên chúng chỉ có dạng 6m±16m\pm16m±1
Xét với số nguyên tố $p=6m\pm1\Rightarrow p^2-1=36m^2\pm12m=12m\left(3m\pm1\right)⋮8$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra p chia hết cho 3 và 8 , mà (3,8) = 1
=> p chia hết cho 24

Answer 2

Ta có : p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)p​2​​−1=(p−1)(p+1)
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3
Xét tích ba số nguyên liên tiếp : (p-1).p.(p+1) . Số này chia hết cho 3 vì một trong ba số ắt tìm được một số chia hết cho 3. Mà p không chia hết cho 3
=> (p-1)(p+1) = p2-1 chia hết cho 3 (1)
Ta chứng minh bài toán phụ : Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng $6m+1$ hoặc $6m-1$
Thật vậy , mọi số nguyên đều viết được dưới dạng $6m\pm 1,6m\pm 2,6m\pm 3$
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 2 và 3 nên chúng chỉ có dạng $6m\pm 1$
Xét với số nguyên tố $p=6m\pm1\Rightarrow p^2-1=36m^2\pm12m=12m\left(3m\pm1\right)⋮8$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra p chia hết cho 3 và 8 , mà (3,8) = 1
=> p chia hết cho 24

Answer 3

https://olm.vn/hoi-dap/question/90089.html