Question

cho p là số nguyê tố lờn hơn 3 biết p+2 cũng là số nguyên tố. CMR p + 1 chia hết cho 6

Answer 1

Ta chứng minh p + 1 \(⋮\)2,3

- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> p + 1 = 2k + 1 => p + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2 ( k + 1)

Mà : k + 1 \(\in\) N => 2 ( k + 1 ) \(⋮\)2 (1)

- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

+ Trường hợp 1 : p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3 ( k + 1 )

Mà : k + 1 \(\in\) N ; p > 3 => k \(\ge\) 1 => 3 ( k + 1 ) là hợp số

=> p + 2 là hợp số ( vô lý )

=> p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3 ( k + 1 )

Mà : k + 1 \(\in\) N => 3 ( k + 1 ) \(⋮\)3 hay p + 1 \(⋮\)3 (2)

Từ (1) và (2) => p + 1 \(⋮\)6 (đpcm)