Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Huỳnh Thị Thu Uyên

với các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 . Chứng minh \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge1\)

tran nguyen bao quan
11 tháng 5 2019 lúc 11:56

Áp dụng bđt bunhiacopski ta có

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{b\sqrt{y}}{\sqrt{y}}+\frac{c\sqrt{z}}{\sqrt{z}}\right)^2\le\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]=\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(Dấu '=' xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Áp dụng bđt trên ta có \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=1\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge1\)Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge1\)

Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 5 2019 lúc 11:46

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
阮芳邵族
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Diệu
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
Linh Sun
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết
Le Thao Vy
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết