Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c\) (với a>c>0). Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\), và \({F_2}\) nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:
a) \({A_1}\left( { - a;0} \right)\) và \({A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox,
b) \({B_1}\left( {0; - {\rm{ }}b} \right)\) và\({B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\) , ở đó\(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \), đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
a) Do \({A_1}{F_1} = a - c\) và \({A_1}{F_2} = a - c\) nện\({A_1}{F_1} + {A_1}{F_2} = 2a\).Vậy \({A_1}\left( { - a;{\rm{ }}0} \right)\) thuộc elip (E).
Mà A (-1; 0) thuộc trục Ox nên \({A_1}\left( { - a;{\rm{ }}0} \right)\) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
Tương tự, ta chứng minh được \({A_2}\left( {a;{\rm{ }}0} \right)\) là giao điểm của clip (E) với trục Ox.
b) Ta có:\({B_2}{F_2} = \sqrt {{{\left( {c - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\).Vì \({B_2}{F_1} = {B_2}{F_2}\) nên\({B_2}{F_1} + {B_2}{F_2} = a + a = 2a\). Do đó, \({B_2}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\) thuộc elip (E). Mà \({B_2}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\)thuộc trục Oy nên \({B_2}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\)là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Tương tự, ta chứng minh được: \({B_1}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ - }}b} \right)\)là giao ddiemr của elip (E) với trục Oy.
Như vậy, elip (E) đi qua bốn điểm \({A_1}\left( { - a;{\rm{ }}0} \right)\)\({A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)\({B_1}\left( {0; - {\rm{ }}b} \right)\)\({B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\)
