Giải bài tập Sách Giáo Khoa - $6 Ba đường conic - Toán 10

Khởi động (SGK Cánh Diều trang 93-95)

Từ xa xưa, người Hy Lạp đã biết rằng giao tuyến của mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt nón là đường tròn hoặc đường cong mà ta gọi là đường conic (Hình 48). Từ “đường conic” xuất phát từ gốc tiếng Hy Lạp konos, nghĩa là mặt nón.Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?

Đọc tiếp

Từ xa xưa, người Hy Lạp đã biết rằng giao tuyến của mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt nón là đường tròn hoặc đường cong mà ta gọi là đường conic (Hình 48). Từ “đường conic” xuất phát từ gốc tiếng Hy Lạp konos, nghĩa là mặt nón.

Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?

Hướng dẫn giải

Đường conic gồm 3 loại đường đó là: elip, hypebol, parabol
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Hoạt động 1 (SGK Cánh Diều trang 93-95)

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm {F_1};{F_2} trên mặt một bảng gỗ. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn 2{F_1}{F_2}. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc định và kéo căng tại vị trí của đầu bút chì (Hình 51). Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng, đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip. Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng độ dàiM{F_1} + M{F_2} ?

Đọc tiếp

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm ${F_1};{F_2}$ trên mặt một bảng gỗ. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn $2{F_1}{F_2}$. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc định và kéo căng tại vị trí của đầu bút chì (Hình 51). Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng, đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip. Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng độ dài$M{F_1} + M{F_2}$ ?

Hướng dẫn giải

Khi M thay đổi, ta có: $M{F_1} + M{F_2} +{F_1}{F_2} =$ độ dài vòng dây
⇒ Tổng độ dài $M{F_1} + M{F_2}$ là một độ dài không đổi (độ dài vòng dây - {F_1}{F_2}).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Hoạt động 2 (SGK Cánh Diều trang 93-95)

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho M{F_1} + M{F_2} 2a, ở đó {F_1}{F_2} {rm{ }}2c (với ac0). Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của {F_1}{F_2}, trục Oy là đường trung trực của {F_1}{F_2}, và {F_2} nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, {F_1}left( { - c;0} right) và {F_2}left( {c;0} right) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:a) {A_1}left( { - a;0} right) và {A_2}left( {a{rm{ }};{rm{ }}0} right) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox,b) {B_1}l...

Đọc tiếp

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho $M{F_1} + M{F_2} = 2a$, ở đó ${F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c$ (với a>c>0). Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của ${F_1}{F_2}$, trục Oy là đường trung trực của ${F_1}{F_2}$, và ${F_2}$ nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, ${F_1}\left( { - c;0} \right)$ và ${F_2}\left( {c;0} \right)$ là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:

a) ${A_1}\left( { - a;0} \right)$ và ${A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)$ đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox,

b) ${B_1}\left( {0; - {\rm{ }}b} \right)$ và${B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)$ , ở đó$b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} $, đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Hướng dẫn giải

a) Do ${A_1}{F_1} = a - c$ và ${A_1}{F_2} = a - c$ nện${A_1}{F_1} + {A_1}{F_2} = 2a$.Vậy ${A_1}\left( { - a;{\rm{ }}0} \right)$ thuộc elip (E).
Mà A (-1; 0) thuộc trục Ox nên ${A_1}\left( { - a;{\rm{ }}0} \right)$ là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
Tương tự, ta chứng minh được ${A_2}\left( {a;{\rm{ }}0} \right)$ là giao điểm của clip (E) với trục Ox.
b) Ta có:${B_2}{F_2} = \sqrt {{{\left( {c - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a$.Vì ${B_2}{F_1} = {B_2}{F_2}$ nên${B_2}{F_1} + {B_2}{F_2} = a + a = 2a$. Do đó, ${B_2}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)$ thuộc elip (E). Mà ${B_2}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)$thuộc trục Oy nên ${B_2}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)$là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Tương tự, ta chứng minh được: ${B_1}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ - }}b} \right)$là giao ddiemr của elip (E) với trục Oy.
Như vậy, elip (E) đi qua bốn điểm ${A_1}\left( { - a;{\rm{ }}0} \right)$${A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)$${B_1}\left( {0; - {\rm{ }}b} \right)$${B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)$
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Luyện tập - Vận dụng 1 (SGK Cánh Diều trang 93-95)

Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0 ; 3) và $N\left(3;\dfrac{-12}{5}\right)$.

Hướng dẫn giải

Elip có phương trình chính tắc là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$
Do Elip đi qua điểm M(0;3) nên $b = 3$
Điểm $N\left( {3; - \frac{{12}}{5}} \right)$ thuộc (E) nên ta có: $\frac{{{3^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( { - \frac{{12}}{5}} \right)}^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow a = 5$
Vậy Elip có phương trình chính tắc là: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Hoạt động 3 (SGK Cánh Diều trang 96-98)

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm {F_1},{F_2} trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài l thoả mãnAB--{F_1}{F_2}{rm{ }} l AB . Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào {F_2}. Đặt thước sao cho điểm B trùng với {F_1}, và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúcAM{F_2} , Cho thước quay quanh điểm B (trùng {F_1}), tức là điểm A chuyển động trên đườn...

Đọc tiếp

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm ${F_1},{F_2}$ trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài $l$ thoả mãn$AB--{F_1}{F_2}{\rm{ }} < l < AB$ . Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào ${F_2}$. Đặt thước sao cho điểm B trùng với ${F_1}$, và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúc$AM{F_2}$ , Cho thước quay quanh điểm B (trùng ${F_1}$), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu$M{F_1} - M{F_2}$ ?

Hướng dẫn giải

Khi M thay đổi, hiệu $M{F_1} - M{F_2} = \left( {M{F_1} + MA} \right) - \left( {M{F_2} + MA} \right) = AB - l{\rm{ }}$không đổi.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Hoạt động 4 (SGK Cánh Diều trang 96-98)

Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng {F_1}{F_2}, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng {F_1}{F_2} {rm{ }}2c{rm{ }}left( {c{rm{ }} {rm{ }}0} right),gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng {F_1}{F_2} (Hình 54).a) Tìm toạ độ của hai tiêu điểm {F_1},{F_2}.b) Nếu dự đoán thích hợp cho “?” trong bảng sau:

Đọc tiếp

Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng ${F_1}{F_2}$, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng ${F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c{\rm{ }}\left( {c{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right),$gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng ${F_1}{F_2}$ (Hình 54).

a) Tìm toạ độ của hai tiêu điểm ${F_1},{F_2}$.

b) Nếu dự đoán thích hợp cho “?” trong bảng sau:

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Luyện tập - Vận dụng 2 (SGK Cánh Diều trang 96-98)

Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: $4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}^2}}} = 1$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}^2}}} = 1$
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Hoạt động 5 (SGK Cánh Diều trang 99,100)

Lấy đường thẳng Delta và một điểm F không thuộc Delta . Lấy một ê ke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của ê ke. Đặt ê ke sao cho cạnh AC nằm trên Delta , lấy đầu bút chì (kí hiệu là điểm M) ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ căng sợi dây. Lúc này, sợi dây chính là đường gấp khúc BMF. Cho cạnh AC của ê ke trượt trên Delta (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol. Khi M thay đổ...

Đọc tiếp

Lấy đường thẳng $\Delta $và một điểm F không thuộc $\Delta $. Lấy một ê ke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của ê ke. Đặt ê ke sao cho cạnh AC nằm trên $\Delta $, lấy đầu bút chì (kí hiệu là điểm M) ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ căng sợi dây. Lúc này, sợi dây chính là đường gấp khúc BMF. Cho cạnh AC của ê ke trượt trên $\Delta $ (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta $?

Hướng dẫn giải

Khi M thay đổi, ta có: $MA + MB = MF + MB\left( { = AB} \right)$. Do đó $MA = MF$.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Luyện tập - Vận dụng 3 (SGK Cánh Diều trang 99,100)

Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:

a) $x = \frac{{{y^2}}}{4}$

b) $x-y^2=0$

Hướng dẫn giải

a) $x = \frac{{{y^2}}}{4} \Leftrightarrow {y^2} = 4x$
Vậy dạng chính tắc của parabol là: ${y^2} = 4x$
b) $x - {y^2} = 0 \Leftrightarrow {y^2} = x$
Vậy dạng chính tắc của parabol là: ${y^2} = x$
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

Bài 1 (SGK Cánh Diều trang 102)

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

$a)\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

b) $\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

c) $\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$

d) $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của elip là: c) $\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$.
a) Không là PTCT vì a =b =8
b) Không là PTCT
d) Không là PTCT vì a =5 < b =8.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Thảo luận (1)

$6. Ba đường conic

Khởi động (SGK Cánh Diều trang 93-95)

Hoạt động 1 (SGK Cánh Diều trang 93-95)

Hoạt động 2 (SGK Cánh Diều trang 93-95)

Luyện tập - Vận dụng 1 (SGK Cánh Diều trang 93-95)

Hoạt động 3 (SGK Cánh Diều trang 96-98)

Hoạt động 4 (SGK Cánh Diều trang 96-98)

Luyện tập - Vận dụng 2 (SGK Cánh Diều trang 96-98)

Hoạt động 5 (SGK Cánh Diều trang 99,100)

Luyện tập - Vận dụng 3 (SGK Cánh Diều trang 99,100)

Bài 1 (SGK Cánh Diều trang 102)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)