Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đưởng thẳng d: x-2y+7=0, d1: x-2y-3=0. Biết vectơ w=(a;b) có độ dài nhỏ nhất thỏa d1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến T vectơ w. Khi đó M=2a+3b+4 bằng

Answer 1

Lấy \(A\left(1;4\right)\in d\)

Gọi \(B=T_{\overrightarrow{w}}\left(A\right)\Rightarrow B\left(a+1;b+4\right)\)

Do \(B\in d_1\Rightarrow\left(a+1\right)-2\left(b+4\right)-3=0\)

\(\Rightarrow a-2b-10=0\Rightarrow a=2b+10\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{w}=\left(2b+10;b\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{w}\right|=\sqrt{\left(2b+10\right)^2+b^2}=\sqrt{5b^2+40b+100}\)

\(=\sqrt{5\left(b+4\right)^2+20}\ge\sqrt{20}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(b=-4\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow M=-4\)

Answer 2

Ta thấy \(\dfrac{1}{1}=\dfrac{-2}{-2}\ne\dfrac{7}{-3}\Rightarrow\) d song song với d₁  ⇒ w có độ dài nhỏ nhất khi trùng với đường vuông góc 2 đường thẳng d và d₁ . Do đó ta lấy điểm A(1;4) thuộc d  Vì d1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến T\(\overrightarrow{w}\)⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x'=1+a\\y'=4+b\end{matrix}\right.\)

Thay vào hpt của d1 ta được: \(1+a-2\left(4+b\right)-3=0\Leftrightarrow a-2b=10\)(1)

Ta có : \(\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}\Rightarrow2a-b=0\left(2\right)\) Từ (1) và (2) : ⇒ a=\(-\dfrac{10}{3};b=-\dfrac{20}{3}\)

⇒ M=-68/3