Question

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0\) và mp \(\left(P\right):x+2y+2z+11=0\).

Tìm điểm M trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) ngắn nhất

A. M(0;0;1)

B. M(2;-4;-1)

C. M(4;0;3)

D. M(0;-1;0)

Answer 1

Mặt cầu tâm \(I\left(3;-2;1\right)\)

Mặt phẳng (P) nhận \(\left(1;2;2\right)\) là 1 vtpt

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc (P) \(\Rightarrow\) M là giao điểm của d với mặt cầu (giao điểm nằm giữa I và H với H là giao của d và (P))

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-2+2t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\)

H là giao d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(3+t+2\left(-2+2t\right)+2\left(1+2t\right)+11=0\Rightarrow t=-\frac{4}{3}\) \(\Rightarrow H\left(\frac{5}{3};-\frac{14}{3};-\frac{5}{3}\right)\)

M là giao d và (S) nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left(3+t\right)^2+\left(-2+2t\right)^2+\left(1+2t\right)^2-6\left(3+t\right)+4\left(-2+2t\right)-2\left(1+2t\right)+5=0\)

\(\Leftrightarrow9t^2-9=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(4;0;3\right)\\M\left(2;-4;-1\right)\end{matrix}\right.\)

M nằm giữa I và H nên \(M\left(2;-4;-1\right)\) là điểm cần tìm