Question

trong hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(0, 1) và B(3, 4). Điểm M (a, b) thuộc đường thẳng (d) x-2y-2=0 thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, Khi đó a+b bằng

Answer 1

M thuộc d nên: \(a-2b-2=0\Rightarrow2b=a-2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-a;1-b\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(3-a;4-b\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(3-2a;5-2b\right)=\left(3-2a;9-2a\right)\)

Đặt \(T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(3-2a\right)^2+\left(9-2a\right)^2}=\sqrt{8a^2-48a+90}=\sqrt{8\left(a-3\right)^2+18}\ge\sqrt{18}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a-3=0\Leftrightarrow a=3\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)