Question

Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy 2 điểm C, D sao cho C thuộc C thuộc cung AD. Gọi E là giao điểm hai tia AC và BD, H là giao điểm 2 dây AD và BC. C/m:

a, Tứ giác ECHD nội tiếp

b, EC.AC = HC.BC

 

Answer 1

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=\angle ADB=90\Rightarrow ECHD\) nội tiếp

b) ECHD nội tiếp \(\Rightarrow\angle CEH=\angle CDH=\angle CDA=\angle CBA\)

Xét \(\Delta CEH\) và \(\Delta CBA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CEH=\angle CBA\\\angle ECH=\angle BCA=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CEH\sim\Delta CBA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CE}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\Rightarrow CE.AC=BC.HC\)

Answer 2

a, xét nửa đường tròn đường kính AB 

có tam giác ABD nội tiếp => góc ADE=90 độ

có tam giác ABC nội tiếp=> góc BCE=90 độ

=>góc ADE+góc BCE=180 độ 

mà 2 góc này đối diện=>tứ giác ECHD nội tiếp

b, xét tam giác ADE và tam giác BCE có

góc E chung, góc ADE= góc BCE(cmt)

=>tam giác ADE đồng dạng tam giác BCE(g.g)

=>\(\dfrac{ED}{EC}=\dfrac{AD}{BC}< =>\dfrac{EC}{BC}=\dfrac{ED}{AD}\)(1)

xét tam giác ACH và tam giác ADE có

góc A chung, góc ACH= góc ADE(=90 độ)

=>tam giác ACH đồng dạng tam giác ADE(g.g)

=>\(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{HC}{DE}\)<=>\(\dfrac{ED}{AD}=\dfrac{HC}{AC}\left(2\right)\)

từ(1)(2)=>\(\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{EC}{BC}=>EC.AC=HC.BC\left(dpcm\right)\)