Question

Tính tổng : \(S=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2+\left(4+\frac{1}{4}\right)^2+...+\left(2^n+\frac{1}{2^n}\right)^2\)

Answer 1

Ta có : \(S=\left(4+2+\frac{1}{4}\right)+\left(16+2+\frac{1}{16}\right)+..+\left(2^{2n}+2+\frac{1}{2^{2n}}\right)\)

              \(=\left(4+16+...+2^{2n}\right)+2n+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+.....+\frac{1}{2^{2n}}\right)\)

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân \(S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}\)

\(S=4.\frac{4^{n-1}}{3}+2n+\frac{1}{4}.\frac{2^{\frac{1}{2n}}-1}{\frac{1}{4}-1}=4.\frac{4^n-1}{3}+2n+\frac{1}{3}.\frac{2^{2n}-1}{2^{2n}}\)

  \(=2n+\frac{4^n-1}{3}.\frac{4.4^n+1}{4^n}=2n+\frac{\left(4^n-1\right)\left(4^{n+1}+1\right)}{3.4^n}\)