Lời giải:
\(\frac{(x^2+x+1)^{2018}+(x+2)^{2018}-2.3^{2018}}{(x-1)(x+2017)}=\frac{(x^2+x+1)^{2018}-3^{2018}+(x+2)^{2018}-3^{2018}}{(x-1)(x+2017)}\)
\(=\frac{(x^2+x-2)[(x^2+x+1)^{2017}+...+3^{2017}]+(x-1)[(x+2)^{2017}+...+3^{2017}]}{(x-1)(x+2017)}\)
\(=\frac{(x+2)[(x^2+x+1)^{2017}+...+3^{2017}]+(x+2)^{2017}+...+3^{2017}}{x+2017}\)
Do đó:
\(\lim_{x\to 1}\frac{(x^2+x+1)^{2018}+(x+2)^{2018}-2.3^{2018}}{(x-1)(x+2017)}=\lim_{x\to 1}\frac{(x+2)[(x^2+x+1)^{2017}+...+3^{2017}]+(x+2)^{2017}+...+3^{2017}}{x+2017}\)
\(=\frac{3\underbrace{(3^{2017}+3^{2017}+...+3^{2017})}_{2018}+\underbrace{3^{2017}+...+3^{2017}}_{2018}}{1+2017}\)
\(=\frac{3.2018.3^{2017}+2018.3^{2017}}{2018}=3^{2018}+3^{2017}=3^{2017}.4\)
