Xét: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+a^2b\right)+\left(abc+b^2c\right)+\left(bc^2+c^2a\right)+\left(abc+a^2c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+c^2+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\left(ab+bc\right)+\left(c^2+ca\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)
Với a = - b thì thế vào phương trình thứ 2 ta được
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=2^9\)
\(\Leftrightarrow c^3=2^9\)
\(\Leftrightarrow c=8\)
\(\Rightarrow P=a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=c^{2009}=8^{2009}\)
Tương tự với b = - c và c = - a ta đều tìm được P = 82009
