Lời giải:
Nếu cả \(x,y,z\) đều lẻ thì \(x^z+z^x\) lẻ (vô lý do là tổng của hai số lẻ phải là một số chẵn)
Do đó tồn tại một trong ba số là chẵn ( tức là bằng $2$ )
Vì \(y=\max\) nên \(x=2\) hoặc $z=2$
Không mất tính tổng quát giả sử $x=2$ . Hai số còn lại chắc chắn phải là lẻ.
Khi đó \(2^z+z^2=y\) \(\Rightarrow y\equiv (-1)^z+z^2\equiv z^2-1\pmod 3\)
+) Nếu $z$ chia hết cho $3$ thì $z=3$ suy ra $y=17$ là số nguyên tố (thỏa mãn)
+) Nếu $z$ không chia hết cho $3$. Ta biết một số chính phương không chia hết cho $3$ thì chia $3$ dư $1$ nên
\(z^2-1\equiv 0\pmod 3\rightarrow y\equiv 0\pmod 3\rightarrow y=3\)
Có \(2^z+z^2=3\) vô lý vì \(z\geq 3\)
Vậy \((x,y,z)=(2,3,17),(3,2,17)\)
