Không có điều kiện \(x\in Z\)không có thì bài này phải giải theo phương pháp GTLN-GTNN rồi tìm khoảng giá trị của y
Lời giải:
Để \(\frac{4x+3}{x^2+1}\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow 4x+3\vdots x^2+1(1)\)
\(\Rightarrow x(4x+3)\vdots x^2+1\)
hay \( 4x^2+3x\vdots x^2+1\)
\(\Leftrightarrow 4(x^2+1)+3x-4\vdots x^2+1\)
\(\Leftrightarrow 3x-4\vdots x^2+1\)
\(\Rightarrow 12x-16\vdots x^2+1(*)\)
Từ \((1)\Rightarrow 12x+9\vdots x^2+1(**)\)
\((**)-(*)\Rightarrow 25\vdots x^2+1\Rightarrow x^2+1\in \text{Ư}(25)\)
Mà \(x^2+1\geq 1, \forall x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x^2+1\in\left\{1;5;25\right\}\)
\(\Rightarrow x^2\in\left\{0;4;24\right\}\)
Vì \(x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x\in\left\{0;\pm 2\right\}\)
Vậy.........
