Question

tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất pt có nghiệm:

\(m\sqrt{x^2+2}\ge x+m\)

Answer 1

Chắc là được sử dụng kiến thức 12 chứ?

\(\Leftrightarrow m\left(\sqrt{x^2+2}-1\right)\ge x\)

\(\Leftrightarrow m\ge\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\)

BPT có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge\min\limits_{x\in R}\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\)

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{2-\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}\left(\sqrt{x^2+2}-1\right)^2}\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2}=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

Từ BBT ta thấy hàm đạt cực tiểu tại \(x=-\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow m\ge-\sqrt{2}\)