Question

tìm số tự nhiên n thỏa mãn \(2^n+21\) là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Bổ đề: Một số chính phương $a^2$ khi chia $8$ có dư $0,1,4$

Chứng minh:

Nếu $a=4k$ thì \(a^2=16k^2\equiv 0\pmod 8\)

Nếu $a=4k\pm 1$ thì \(a^2=16k^2\pm 8k+1\equiv 1\pmod 8\)

Nếu $a=4k+2$ thì \(a^2=(4k+2)^2=16k^2+16k+4\equiv 4\pmod 8\)

Vậy $a^2$ chia $8$ có thể có dư là $0,1$ hoặc $4$ (đpcm)

---------------

Quay trở lại bài toán:

Thứ $n=0,1,2$ ta thấy $n=2$ thỏa mãn

Với $n\geq 3$ thì \(2^n\equiv 0\pmod 8\Rightarrow 2^n+21\equiv 21\equiv 5\pmod 8\)

Mà 1 số chính phương chia 8 không thể có dư là $5$ (chứng minh ở trên). Do đó $2^n+21$ không thể là số chính phương với $n\geq 3$

Vậy $n=2$ là kết quả duy nhất.