Question

Tìm số tự nhiên a sao cho \(a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6\) là số chính phương

Answer 1

\(a\left(1+a+a^2+a^3+a^4+a^5\right)\text{ là số chính phương mà:}\left(a,1+a+a^2+a^3+a^4+a^5\right)=1\text{ nên: a là số chính phương;}1+a+a^2+a^3+a^4+a^5\text{ là số chính phương}.\text{ Do đó: }\left(a+1\right)\left(a^4+a^2+1\right)\text{ cũng là số chính phương.}Gọi:d=\left(a+1,a^4+a^2+1\right)\Rightarrow a^4-a^4+1+a^2-a^2+1+1\text{ chia hết cho d nên: }d=1\text{ hoặc 3}.Nếu\text{ }d=1\text{ thì: }a\text{ và: }a+1\text{ đều là số chính phương nên: }a=0;\text{nếu: }a+1\text{ chia 3 dư 0 thì a chia 3 dư 2(vô lí) vì scp ko chia 3 dư 2}11\)