Question

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}< 0.01\)

Answer 1

\(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}< 0,01\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}< \dfrac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{n}+\sqrt{n-1}>100\)\(\Leftrightarrow\sqrt{n-1}>100-\sqrt{n}\) (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

\(n-1>\) \(10000-200\sqrt{n}+n\)\(\Rightarrow200\sqrt{n}>10001\Leftrightarrow\sqrt{n}>\dfrac{10001}{200}\Rightarrow n>\left(\dfrac{10001}{200}\right)^2\)

Từ đó dễ thấy n có giá trị nhỏ nhất bằng 2501