Question

Tìm số nguyên tố p,q sao cho \(p^2-2q^2=1\)

Answer 1

- Với \(p=2\Rightarrow4-2q^2=1\Rightarrow2q^2=3\) (vô nghiệm). Vậy \(p>2\)

Ta có \(p^2-2q^2=1\Leftrightarrow p^2-1=2q^2\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2q^2\)

Do \(p>2\) và p là số nguyên tố \(\Rightarrow p-1\) và \(p+1\) là các số chẵn

\(\Rightarrow\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮4\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=4k\)

\(\Rightarrow2q^2=4k\Rightarrow q^2=2k\)

\(\Rightarrow q\) là số chẵn \(\Rightarrow q=2\Rightarrow p=3\)

Vậy chỉ có duy nhất cặp số nguyên tố \(\left(p;q\right)=\left(3;2\right)\) thỏa mãn bài toán.