\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3\left(x,y,z\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz\)
-Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta giả sử \(x\le y\le z\)
\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^4+x^4+x^4=3x^4\)
\(\Rightarrow3xyz\ge3x^4\)
\(\Rightarrow yz\ge x^3\)
-Nếu \(x=1\Rightarrow x=y=z=1\).
-Nếu \(x>1\). \(\Rightarrow yz>1\Rightarrow y>1;z>1\)
Ta thấy: \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}>xy+yz+zx>3\)
\(\Rightarrow\)PT vô nghiệm.
-Vậy...
-Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta giả sử \(x\le y\le z\).
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3\left(x,y,z\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{3}{xyz}\)
-Ta thấy: \(\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{3}{x^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{xyz}\le\dfrac{3}{x^2}\)
\(\Rightarrow xyz\ge x^2\)
\(\Rightarrow yz\ge x\left(1\right)\)
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz\)
-Ta thấy: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^4+x^4+x^4=3x^4\)
\(\Rightarrow3xyz\ge3x^4\)
\(\Rightarrow yz\ge x^3\)
