Question

Tìm n nguyên để n^4+2n^3+5n^2 là bình phương của một số nguyên

Answer 1

Lời giải:

Ta có $n^4+2n^3+5n^2=n^2(n^2+2n+5)$.

Để biểu thức trên là bình phương của một số nguyên thì $n^2+2n+5$ phải là bình phương của một số nguyên.

Đặt $n^2+2n+5=a^2$ với $a\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow (n+1)^2+4=a^2$

$\Leftrightarrow 4=a^2-(n+1)^2=(a-n-1)(a+n+1)$

Vì $a-n-1-(a+n+1)=-2(n+1)$ chẵn nên $a-n-1,a+n+1$ có cùng tính chẵn lẻ.

Do đó $(a-n-1,a+n+1)=(2,2); (-2,-2)$

Nếu $(a-n-1,a+n+1)=(2,2)\Rightarrow 2(n+1)=0\Rightarrow n=-1$

Nếu $(a-n-1,a+n+1)=(-2,-2)\Rightarrow 2(n+1)=0\Rightarrow n=-1$

Tóm lại $n=-1$