Điều đầu tiên ta cần chứng minh được BĐT :
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2x+2y+2z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\) ( Đúng )
\(\Rightarrow x+y+z\ge1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz dưới dạng en-gel ta có :
\(A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(Min_A=\dfrac{1}{2}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
