√(6-x)+√(x+3)=A(A>0)(1)
x€[-3;6]
A^2=9+2√{(6-x).(x+3)}
A^2-9=2√(-x^2+3x+18)
A≥3
m=(A^2-9)^2/4=-x^2+3x+18
f(x)=x^2-3x+m-18
(1)∆≥0<=>9-4m+4.18≥0
m≤81/4
f(-3)=m-18
f(6)=m
=> m≥18 or m ≥0
0≤m≤81/4
0≤(A^2-9)^2≤81
0≤A^2-9≤9
9≤A^2≤18
3≤A≤√(18)
gtnn =3 khi x =3;6
gtln x=-b/a=3/2
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$.
\(A^2=(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+3})^2=6-x+x+3+2\sqrt{(6-x)(x+3)}\)
\(A^2=9+2\sqrt{(6-x)(x+3)}\)
Thấy rằng \(\sqrt{(6-x)(x+3)}\geq 0, \forall x\in [-3;6]\)
Do đó: \(A^2=9+2\sqrt{(6-x)(x+3)}\geq 9\)
Kết hợp với $A$ không âm suy ra \(A\geq 3\)
Vậy \(A_{\min}=3\Leftrightarrow (6-x)(x+3)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=6\\ x=-3\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+3})^2\leq (6-x+x+3)(1+1)\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 9.2=18\Rightarrow A\leq \sqrt{18}\)
Vậy \(A_{\max}=\sqrt{18}\). Dấu bằng xảy ra khi \(6-x=x+3\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
Bài toán có thể sử dụng kết quả sau:
Với $a,b$ là hai số không âm. Khi đó:
\(\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}\)
Để chững minh kết quả này rất dễ, chỉ cần bình phương ta suy ra đpcm.
