Bài 6: Ôn tập chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyen Thi Trinh

tìm m để phương trình, bất phương trình sau có nghiệm:

a. \(\frac{3x^2-1}{\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2x-1}+mx\)

b. \(\sqrt{x-1}+4m\sqrt[4]{x^2-3x+2}+\left(m+3\right)\sqrt{x-2}=0\)

c. \(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}\ge m\)

d. \(m\sqrt{2x^2+9}< x+m\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 6 2019 lúc 0:42

a/ ĐKXĐ: \(x>\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-1}{\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-1}=mx\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-2x}{\sqrt{2x-1}}=mx\Leftrightarrow\frac{3x-2}{\sqrt{2x-1}}=m\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a>0\Rightarrow x=\frac{a^2+1}{2}\Rightarrow\frac{3a^2-1}{2a}=m\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=\frac{3a^2-1}{2a}\) với \(a>0\)

\(f'\left(a\right)=\frac{12a^2-2\left(3a^2-1\right)}{4a^2}=\frac{6a^2+2}{4a^2}>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến

Mặt khác \(\lim\limits_{a\rightarrow0^+}\frac{3a^2-1}{2a}=-\infty\); \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{3a^2-1}{2a}=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 6 2019 lúc 0:53

b/ ĐKXĐ: \(x\ge2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{\left(x-1\right)^2}+4m\sqrt[4]{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\left(m+3\right)\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}=0\)

Nhận thấy \(x=2\) không phải là nghiệm, chia 2 vế cho \(\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}\) ta được:

\(\sqrt[4]{\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2}+4m\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}+m+3=0\)

Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}=a\) pt trở thành: \(a^2+4m.a+m+3=0\) (1)

Xét \(f\left(x\right)=\frac{x-1}{x-2}\) khi \(x>0\)

\(f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-2\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{x-1}{x-2}=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x-1}{x-2}=1\) \(\Rightarrow f\left(x\right)>1\Rightarrow a>1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow m\left(4a+1\right)=-a^2-3\Leftrightarrow m=\frac{-a^2-3}{4a+1}\)

Xét \(f\left(a\right)=\frac{-a^2-3}{4a+1}\) với \(a>1\)

\(f'\left(a\right)=\frac{-2a\left(4a+1\right)-4\left(-a^2-3\right)}{\left(4a+1\right)^2}=\frac{-4a^2-2a+12}{\left(4a+1\right)^2}=0\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)

\(f\left(1\right)=-\frac{4}{5};f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{4};\) \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{-a^2-3}{4a+1}=-\infty\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\le-\frac{3}{4}\Rightarrow m\le-\frac{3}{4}\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 6 2019 lúc 0:56

c/ ĐKXĐ: \(-5\le x\le4\)

Áp dụng BĐT \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

\(\Rightarrow\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}\ge\sqrt{4-x+x+5}=3\)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki:

\(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(4-x+x+5\right)}=3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow3\le m\le3\sqrt{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 6 2019 lúc 1:05

d/

\(\Leftrightarrow m\left(\sqrt{2x^2+9}-1\right)< x\)

Do \(\sqrt{2x^2+9}\ge\sqrt{9}=3\Rightarrow\sqrt{2x^2+9}-1>0\) nên BPT tương đương:

\(\Leftrightarrow m< \frac{x}{\sqrt{2x^2+9}-1}\)

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{2x^2+9}-1}\)

Để BPT đã cho có nghiệm thì \(m< \max\limits_{x\in R}f\left(x\right)\)

\(f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x^2+9}-1-\frac{2x^2}{\sqrt{2x^2+9}}}{\left(\sqrt{2x^2+9}-1\right)^2}=\frac{9-\sqrt{2x^2+9}}{\left(\sqrt{2x^2+9}-1\right)^2\sqrt{2x^2+9}}\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow2x^2+9=81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-6\\x=6\end{matrix}\right.\)

\(f\left(-6\right)=-\frac{3}{4};f\left(6\right)=\frac{3}{4}\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\max\limits_{x\in R}f\left(x\right)=\frac{3}{4}\Rightarrow m< \frac{3}{4}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyen Thi Trinh
Xem chi tiết
Nguyễn thị Phụng
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Nguyen Thien
Xem chi tiết
Phụng Nguyễn Thị
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Giang
Xem chi tiết
Trần Thanh
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết