Question

Tìm m để khoảng cách từ O(0;0) đến đường thẳng (d) có phương trình y = (2m-1)x + 4m - 3 là lớn nhất và tìm khoảng cách lớn nhất đó.

Answer 1

\(y=\left(2m-1\right)x+4m-3\)

\(\Leftrightarrow2m\left(x+2\right)-\left(x+y+3\right)=0\)

\(\Rightarrow d\) luôn đi qua điểm cố định \(A\left(-2;-1\right)\)

Kẻ \(OH\perp d\Rightarrow OH\) là k/c từ O đến (d)

Trong tam giác vuông OAH, do OA là cạnh huyền, OH là cạnh góc vuông

\(\Rightarrow OH\le OA\Rightarrow OH_{max}=OA\) khi \(H\equiv A\)

\(\Rightarrow OH_{max}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)

Khi đó \(\left(d\right)\perp OA\)

Do OA đi qua \(O\left(0;0\right)\) và \(A\left(-2;-1\right)\) \(\Rightarrow OA\) có pt \(y=\frac{1}{2}x\)

Do (d) vuông góc OA \(\Rightarrow\left(2m-1\right).\frac{1}{2}=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\)