Question

Tìm m để hàm số : \(y=\left(x-m\right)\left(x^2-3x-m-1\right)\) có cực đại và cực tiểu thoản mãn \(\left|x_{CD}-x_{CT}\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\)

Answer 1

Ta có: y^'= x² - 3x - m -1 + (2x - 3)( x - m) = 3x² - (2m + 6)x + 2m-1

y^'=0 ↔ 3x² - (2m + 6)x + 2m-1 = 0        (1)

Để hàm số y= (x - m)( x² - 3x - m - 1) có cực đại và cực tiểu thì phương trình y^'=0 có 2 nghiệm phân biệt ↔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ↔ Δ^' > 0 ↔ (m+3)² - 3(2m-1) >0  ↔ m² + 12 > 0   ( mọi m)

→ Hầm số luôn có cả cực đại và cực tiểu.

Gọi x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình (1)

Khi đó, theo định lý Vi-ét, nghiệm của phương trình (1) là:  x₁ + x₂ = ( 2m+6)/3    ; x₁x₂= (2m -1)/3

Theo bài ra, ta có: | x_CĐ - x_CT| \(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\)

↔| x₁ - x₂| \(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) ↔ 9| x₁ - x₂|² \(\ge\) 52   ↔  9( x₁ + x₂)² - 36x₁x₂ \(\ge\) 52

↔ m^2 \(\ge\) 1

→ \(m\ge1\) hoặc \(m\le-1\)

Answer 2

Hàm số xác định trên R

Ta có \(y'=3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1=0\left(1\right)\)

Hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn \(\left|x_{CD}-x_{CT}\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=m^2+7>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge\frac{52}{9}\end{cases}\)

Theo định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2\left(m+3\right)}{3}\\x_1x_2=\frac{2m-1}{3}\end{cases}\)

Suy ra \(\left(\frac{2\left(m+3\right)}{3}\right)^2-4\frac{2m-1}{3}\ge\frac{52}{9}\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4\ge0\Leftrightarrow m\in\)(-\(\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))

Vậy m\(\in\)(-\(\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))