Question

Tìm m để \(f\left(x\right)=x^4-2mx^2+2m+m^4\)

Có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều

Answer 1

\(f'\left(x\right)=3x^3-4mx=3x\left(x^2-m\right)\)

Ta có : \(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0,x^2=m\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt 

\(\Leftrightarrow m>0\)

=> 3 nghiệm là \(x_1=-\sqrt{m};x_2=0;x_3=\sqrt{m}\)

Vậy 3 điểm cực tiểu là :

\(A\left(-\sqrt{m},m^4-m^2+2m\right);B\left(0,m^4+2m\right);C\left(\sqrt{m},-m^2+2m\right)\)

\(\Rightarrow AB=BC=\sqrt{m+m^4};AC=2\sqrt{m}\)

Để A, B, C lập thành tam giác đều thì AB=BC=AC

\(\Leftrightarrow\sqrt{m+m^4}=2\sqrt{m}\)

\(\Leftrightarrow m+m^4=4m\Leftrightarrow m^4=3m\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{3}\)