Question

tìm GTNN của các biểu thức sau:

B= \(|x+\dfrac{1}{2}|+|x+\dfrac{1}{3}|+|x+\dfrac{1}{4}|\)

Answer 1

\(B=\left|x+\dfrac{1}{2}\right|+\left|x+\dfrac{1}{3}\right|+\left|x+\dfrac{1}{4}\right|\)

\(=\left|x+\dfrac{1}{2}\right|+\left|x+\dfrac{1}{3}\right|+\left|-\left(x+\dfrac{1}{4}\right)\right|\)

\(=\left|x+\dfrac{1}{2}\right|+\left|x+\dfrac{1}{3}\right|+\left|-x-\dfrac{1}{4}\right|\)

\(\ge x+\dfrac{1}{2}+0-x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{2}\ge0\\x+\dfrac{1}{3}=0\\x+\dfrac{1}{4}\le0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\x=-\dfrac{1}{3}\\x\le-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}\)

Answer 2

lời giải

kèm giải thích

\(A=\left|x+\dfrac{1}{2}\right|+\left|x+\dfrac{1}{3}\right|+\left|x+\dfrac{1}{4}\right|\ge\left|\left(x+\dfrac{1}{2}\right)-\left(x+\dfrac{1}{4}\right)\right|+\left|x+\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{4}+\left|x+\dfrac{1}{3}\right|\)

đẳng thức khi \(-\dfrac{1}{2}\le x\le-\dfrac{1}{4}\) (*)

\(\dfrac{1}{4}+\left|x+\dfrac{1}{3}\right|\ge\dfrac{1}{4}\)

Đẳng thức khi x=-1/3 phù hợp đk (*)

(nếu không phù hợp với (*) phải xét cực trị biên)

Kết luận

GTNN (A) =1/4 khi x=-1/3

Answer 3

Có thể giải bài toán tổng quát: Cho \(a< b< c\). Tìm GTNN của biểu thức \(f\left(x\right)=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|\).

Kí hiệu A, B, C, M là các điểm có hoành độ a, b, c, x tương ứng. Từ giả thiết suy ra B nằm trong đoạn AC. Chú ý rằng \(\left|x-a\right|\) chính là khoảng cách từ M tới A nên:

- Nếu M nằm ngoài đoạn AC thì khoảng cách từ M tới A hoặc C sẽ lớn hơn AC, tức là \(f\left(x\right)>c-a\).

- Nếu M nằm trong đoạn AC thì \(f\left(x\right)=MA+MC+MB=AC+MB\ge AC=c-a\). Đẳng thức chỉ xảy ra khi \(MB=0\Leftrightarrow x=b\).

-Vậy \(minf\left(x\right)=c-a\).