Question

Tìm GTNN của biểu thức:

M=\(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\)

Answer 1

Ta có

\(M=\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\Leftrightarrow M^2=x-2+6-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}=4+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương

\(2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\le x-2+6-x=4\Leftrightarrow4+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\le4+4=8\Leftrightarrow M^2\le8\Leftrightarrow M=2\sqrt{2}\)Dấu '=' xảy ra khi

\(x-2=6-x\Leftrightarrow2x=8\Leftrightarrow x=4\)

Vậy GTNN của M là \(2\sqrt{2}\)và xảy ra dấu '=' khi x=4