Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
HUỲNH TÔ ÁI VÂN

Caau1: Biết \(y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\)Tìm GTLN, GTNN của A=x+y+z

Caau2:Cho x, y, z la các số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\le3\)Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\)

Caau3: Tìm GTLN của P=\(\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}\)

Caau4 TTìm GTNN của M=\(x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1\)

Trần Thanh Phương
5 tháng 2 2020 lúc 9:05

Câu 1:

\(y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2y^2+2yz+2z^2=2-3x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^2+y^2+z^2+3x^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^2+x^2+2x\left(y+z\right)+y^2+z^2+2x^2-2x\left(y+z\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow A^2=2-\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\le2\forall x;y;z\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le A\le\sqrt{2}\)

Vậy \(A_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{2}}{3}\)

\(A_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Câu 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\ge\frac{9}{3+xy+yz+zx}\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Câu 3:

\(P=\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}\) ( \(a\ge3;b\ge4;c\ge2\) )

\(P=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{c-2}}{c}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{a-3}}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2\cdot\sqrt{b-4}}{b}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2+c-2}{c}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3+a-3}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4+b-4}{b}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=8\\c=4\end{matrix}\right.\)

Câu 4:

Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b\left(a;b\ge0\right)\)

\(M=a^2-2ab+3b^2-2a+1\)

\(M=a^2-a\left(2b+2\right)+3b^2+1\)

\(\Delta=\left(2b+2\right)^2-4\left(3b^2+1\right)\)

\(=-8b^2+8b\)

\(=-8b\left(b+1\right)\ge0\)

\(b\ge0\) nên \(-8b\left(b+1\right)\le0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=0\)

Khi đó \(M=a^2-2a+1=\left(a-1\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

Vậy \(M_{min}=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
sunsies
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
Hoa Trần Thị
Xem chi tiết
Lê Thị Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Trai Vô Đối
Xem chi tiết
Ngoc Anh Vu
Xem chi tiết
Hồ Minh Phi
Xem chi tiết
Vũ Sơn Tùng
Xem chi tiết
Nam Nguyễn
Xem chi tiết