Question

tìm GTLN của: \(T=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

với mọi số dương a,b,c và abc=1

Answer 1

Ta chứng minh BĐT \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) với x; y dương

Thật vậy, BĐT \(\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(T=\sum\frac{1}{a^3+b^3+1}=\sum\frac{abc}{a^3+b^3+abc}\le\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow T_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)