Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{a^2}{a-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2-4+4}{a+b-2}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)+4}{a+b-2}=a+b+2+\dfrac{4}{a+b-2}\)
\(=a+b-2+\dfrac{4}{a+b-2}+4\ge2\sqrt{\left(a+b-2\right).\dfrac{4}{a+b-2}}-4=0\)
Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)
Bài 2:
a) Tìm GTLN của A = \(\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}\)
b) Tìm GTLN của B = xy biết 4x + 5y = 40
Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{-a+b+c}{2a}+\dfrac{a-b+c}{2b}+\dfrac{a+b-c}{2c}\ge\dfrac{3}{2}\)
Bài 4: Cho m, n > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)
So sánh a và b biết :
\(\dfrac{-1}{2}\)\(-\)\(\dfrac{3-2a}{3}\)>\(\dfrac{-1}{2}\)\(-\dfrac{3-2a}{3}\)
B1:C/m
a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)\(>=ab\)
b)(a+b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)>=4\) (với a>0,b>0)
c)\(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
Cho a, b, c, d > 0. CMR:
Nếu \(\dfrac{a}{b}< 1\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)
Áp dụng, chứng minh BĐT sau:
a) \(1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\)
b) \(1< \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< 2\)
c) \(2< \dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{b+c+d}+\dfrac{c+d}{c+d+a}+\dfrac{d+a}{d+a+b}< 3\)
Cho a,b,c >0. CMR
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
Cho a > b > c > 0 và a2 + b2 + c2 =1
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\)
Cho a,b,c>0 và a+b+c<1
CMR: \(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
Chứng minh bđt:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\forall a,b,c>0\)
choa,b,c là các số thực dương
CMR:\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}-\dfrac{a+b+c}{2abc}\le0\)
