Tổng mẫu =hằng số=> áp dụng BĐT đưa mẫu về hằng số
Mình trình bầy cho bạn cách khác xuất phát từ gốc của vấn đề
Tất nhiên đi từ gốc --> mệt hơn nhưng rất vững kể cả bài toán có suy biến chút ít.
\(f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}+\frac{9}{3+x}=\frac{3+x}{\left(1-x\right)\left(3+x\right)}+\frac{9\left(1-x\right)}{\left(3+x\right)\left(1-x\right)}=\frac{12-8x}{-x^2-2x+3}\)
Với điều kiện (*) -3<x<1 => mẫu số luôn >0; tử số có thể >0 hoặc <0. =>vậy thêm vào tử một đại lượng. sao cho tử luôn không âm hoặc luôn âm.
Ta có: \(\frac{12-8x}{-x^2-2x+3}-4=\frac{12-8x-4\left(-x^2-2x+3\right)}{\left(-x^2-2x+3\right)}=\frac{12-8x+4x^2+8x-12}{\left(-x^2-2x+3\right)}=\frac{4x^2}{\left(-x^2-2x+3\right)}\)
Mẫu số >0 lý luận trước: Tử số =4x^2>=0
\(\Rightarrow\frac{4x^2}{\left(-x^2-2x+3\right)}\ge0\Rightarrow\frac{12-8x}{\left(-x^2-2x+3\right)}-4\ge0\Rightarrow\frac{12-8x}{\left(-x^2-2x+3\right)}\ge4\)GTNN=4 khi x=0 thủa mãn điều kiện (*)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}+\frac{9}{3+x}=\frac{1}{1-x}+\frac{3^2}{3+x}\)
\(\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{1-x+3+x}=\frac{4^2}{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)
