Question

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

A=\(\frac{1}{2}\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2-2x+1}\)

Answer 1

Lời giải:

\(A=\frac{1}{2}\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2-2x+1}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2}+\sqrt{(x-1)^2}\)

\(=\frac{|x|}{2}+|x-1|=\frac{|x|+|x-1|+|x-1|}{2}\)

Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:

\(|x|+|x-1|=|x|+|1-x|\geq |x+1-x|=1\)

\(|x-1|\geq 0\) (theo tính chất trị tuyệt đối)

\(\Rightarrow A=\frac{|x|+|x-1|+|x-1|}{2}\geq \frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của $A$ là $\frac{1}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x(1-x)\geq 0\\ x-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\)