Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a/ A=x^2-3x+5

b/B=(2x-1)^2+(x+2)^2

c/C=x^2-2x+y^2-4y+7

d/D=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

Answer 1

a) A = x² - 3x + 5
A = x² - 2.x.\(\dfrac{3}{2}\) + \(\dfrac{9}{4}\) + \(\dfrac{11}{4}\)

A = ( x - \(\dfrac{3}{2}\) )² + \(\dfrac{11}{4}\)

Vì ( x - \(\dfrac{3}{2}\) )² \(\ge\) 0 với mọi x
\(\Rightarrow\) ( x - \(\dfrac{3}{2}\))² + \(\dfrac{11}{4}\) \(\ge\) \(\dfrac{11}{4}\) với mọi x

\(\Rightarrow\) A \(\ge\) \(\dfrac{11}{4}\) với mọi x
Vậy min A = \(\dfrac{11}{4}\) \(\Leftrightarrow\) ( x - \(\dfrac{3}{2}\) )² = 0
\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{3}{2}\)

Answer 2

d) D = ( x - 1)( x + 2)( x + 3 )( x + 6)
D = [( x - 1)( x + 6)] [( x + 2 )( x + 3)]
D = ( x² + 6x - x - 6 )( x² + 3x + 2x + 6 )
D = ( x² + 5x - 6 )( x² + 5x + 6)
D = ( x² + 5x )² - 36
Vì ( x² + 5x )² \(\ge\) 0 với mọi x
\(\Rightarrow\) ( x² + 5x )² - 36 \(\ge\) - 36 với mọi x
\(\Rightarrow\) D \(\ge\) -36 với mọi x
Vậy min D = -36 \(\Leftrightarrow\) ( x² + 5x )² = 0
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+5=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Answer 3

c) C = x² - 2x + y² - 4y + 7
C = x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 + 2
C = ( x - 1 )² + ( y - 2 )² + 2
Vì ( x - 1 )² \(\ge\) 0 với mọi x
( y - 2 )² \(\ge0\) với mọi y
\(\Rightarrow\)( x - 1)² + ( y - 2)² + 2 \(\ge2\) với mọi x, y
\(\Rightarrow\) C \(\ge2\) với mọi x,y
Vậy min C = 2 \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)